Polinomios
Grau de um polinómio
Em um polinómio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
Soma de polinómios
Consideremos p e q polinómios em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinómios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po + p = p
qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
Grau de um polinómio
Em um polinómio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
Soma de polinómios
Consideremos p e q polinómios em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinómios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po + p = p
qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
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